Metodi matematici della fisica teorica

Corso di Studio:
Laurea magistrale in Scienze fisiche
Docenti:
Paolo Perinotti
Anno accademico:
2016/2017 (Altri: 2015/2016 2014/2015 2013/2014)
Lingua di insegnamento:
Italiano / english friendly
Codice corso:
500639
Settore scientifico/disciplinare:
FIS/02
Crediti formativi:
6
Ore di lezione:
48

Obiettivi

Una introduzione ai metodi della geometria differenziale utilizzati nella fisica teorica. Esempi e case studies focalizzati allo sviluppo della comprensione e delle metodologie usate nella relatività generale, nelle teorie di gauge e nella teoria quantistica dei campi.

Prerequisiti

I corsi introduttivi di metodi matematici (o equivalenti).

Programma

Varietà differenziabili, fibrati vettoriali su varietà differenziabili, fibrati principali Campi vettoriali su varietà, flusso di un campo vettoriale, derivata di Lie. Connessioni lineari su un fibrato vettoriale. Connessioni come 1-forme a valori nell’algebra di Lie di un gruppo. Trasporto parallelo. Mappa esponenziale. Curvatura e olonomia di una connesione. Identità di Bianchi e loro significato geometrico. Tensore di curvatura. Metrica su una varietà e compatibilità fra metrica e connessione. Connessioni e campi di Yang-Mills. Invarianza di Gauge. Equazioni di Yang-Mills e loro deduzione variazionale. L ' esempio del campo elettromagnetico. Connessioni lineari sul fibrato tangente e connessioni di Levi-Civita. Curve geodetiche e loro proprietà. Tensore di Ricci di una connessione. Simmetrie e vettori di Killing. Analisi geometrica. Operatori differenziali su varietà e equazioni alle derivate parziali di origine geometrica. Spazi di Banach di sezioni di un fibrato. Norme L^p e spazi di Sobolev. Operatori ellittici, parabolici, e iperbolici. Esempi e applicazioni. Teorema spettrale su varietà. Lo spettro dell’operatore di Laplace-Beltrami su varietà compatte. Applicazione al calcolo dei Determinanti funzionali e funzioni di partizione in teoria quantistica dei campi e meccanica statistica.

Bibliografia

Manfredo do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhauser Boston
Y. Choquet- Bruhat, C. DeWitt-Morette, Analysis, Manifolds and Physics, North-Holland
J. Jost, Riemannian Geometry and Geometric analysis, Springer

Modalità di esame

Esame orale.