Metodi matematici della fisica I

Corso di Studio:
Laurea triennale in Fisica
Docenti:
Barbara Pasquini
Anno accademico:
2017/2018 (Altri: 2016/2017 2015/2016 2014/2015 2013/2014)
Semestre:
II
Lingua di insegnamento:
Italiano
Codice corso:
501997
Settore scientifico/disciplinare:
FIS/02
Crediti formativi:
6
Ore di lezione:
48

Obiettivi

1) Elementi di teoria delle funzioni analitiche nel piano complesso 2) Elementi di teoria degli spazi di Hilbert di dimensione infinita

Prerequisiti

Corsi di Algebra e Analisi del biennio.

Programma

1) Definizione e proprietà fondamentali di una funzione analitica nel piano complesso - Integrali curvilinei in capo complesso e teoremi di Cauchy - Formula integrale di Cauchy e infinita derivabilità delle funzioni analitiche - Serie di Taylor e di Laurent - Punti singolari isolati al finito e all'infinito - Teorema dei Residui - Prolungamento analitico secondo Weierstrass e prolungamento analitico lungo una curva - Funzioni polidrome e separazione dei rami analitici - Applicazione del teorema dei Residui al calcolo di integrali generalizzati. 2) Spazi normati e spazi di Banach - Convergenza forte in uno spazio normato - Spazi prehilbertiani e hilbertiani - Sistemi ortonormali e sistemi ortonormali completi - Disuguaglianze di Schwarz e di Bessel - Serie generalizzata di Fourier e identità di Parseval - Costruzione di Gram-Schmidt - Isomorfismo tra spazi di Hilbert - Varietà lineari e sottospazi di uno spazio di Hilbert - Teorema di proiezione - Operatori e funzionali lineari in uno spazio di Hilbert - Teorema di Riesz-Fréchet - Convergenza debole e completezza debole di uno spazio di Hilbert.

Bibliografia

1) Dispense del docente; 2) Bibliografia allegata alle dispense.

Modalità di esame

Esame scritto e orale. La prova scritta dura 4 ore e prevede lo svolgimento di 4 problemi, che riguardano proprietà delle funzioni complesse, sviluppi in serie, e svolgimento di integrali nel piano complesso. La soglia per accedere alla prova orale è un punteggio minimo di 15/30. La prova orale consiste in due domande su argomenti di analisi complessa e una domanda sugli spazi di Hilbert.